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条件付き確率 [カテゴリ: 数学]

ツイッターのタイムラインで、条件付き確率のお話が盛り上がっていたので解説。

はじめに言っておくと、条件付き確率の問題にありがちなのですが、日本語が悪いです。


問題はこれ

------------------------------------------------------------
ジョーカーを除いたトランプ52枚の中から1枚のカードを抜き出し、表を見ないで箱の中にしまった。そして、残りのカードをよく切ってから3枚抜き出したところ、 3枚ともダイヤであった。
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか。
------------------------------------------------------------

この日本語を普通に受け取るなら、「3枚引いたらたまたま全部ダイヤだったよすごーい」である。
しかし、この解釈が誤りなのである。

そもそも、あとから何かしたところで箱の中身がかわるわけないからね。マジシャンかよ。

この問題文の意味を、(おそらく出題者の意図を)誤解なく伝えるなら、

------------------------------------------------------------
ジョーカーを除いたトランプ52枚の中から1枚のカードを抜き出し、表を見ないで箱の中にしまった。そして、残りのカードをよく切ってから3枚抜き出す。
抜き出した3枚が「3枚ともダイヤ」でなかった場合は、箱の中にしまう操作から全てやり直す。

このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか。
------------------------------------------------------------

こうなるかな。

つまり、
「引いたらたまたま全部ダイヤだったよ」
ではなく、
「全部ダイヤだった場合以外は無効!やり直せ!」
ということである。


ちなみに、もとの問題文と同じような書き方だが、下記のような問題なら、誤解する人は少ないのではないだろうか。
------------------------------------------------------------
ジョーカーを除いたトランプ52枚の中から1枚のカードを抜き出し、 表を見ないで箱の中にしまった。 そして、残りのカードを全て見たところ、ダイヤのカードは12枚であった。
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか。
------------------------------------------------------------
こんなのだったら、「12枚しかないんだったら残りは箱の中にあるに決まってんじゃん。答えは1だろ」と思うでしょう。
これも、「残りのカードにダイヤが12枚しかなかった場合」以外は無効として扱っているわけである。
「残り全部見たらたまたまダイヤ12枚だったよ」
ではなく、
「ダイヤが12枚だった場合以外は無効!やり直せ!」
ということである。



箱に入れた時点では当然1/4の確率なのだが、そのあとの条件をクリアした試行だけを母集合として扱う(そして「そのあとの条件」は箱の中身に影響する)ので、全試行を母集合とした場合とは異なるわけである。


というわけで、問題を実際に解いてみましょう。

【1】箱の中身がダイヤで かつ そのあとに引いた3枚が全てダイヤである確率P
箱の中身は13/52で約分して1/4
そのあとの3枚は、51枚の中に12枚ダイヤがあるので、12C3/51C3
このへんの解説は不要ですね。条件付き確率に手を出そうとしている人なら。

texclip20131221161646.png

texclip20131221163935.png

texclip20131221164017.png

これ以上の計算は面倒なのでやめましょう。

【2】箱の中身がダイヤでなく かつ そのあとに引いた3枚が全てダイヤである確率Q

やりかたは同じです。

texclip20131221165107.png

texclip20131221165134.png

texclip20131221165159.png



あとから引いた3枚が全てダイヤというのは、【1】と【2】の事象で全てです。
つまり、
母集合 : P+Q
欲しい事象の確率【1】 : P
なので、求める確率は
P/(P+Q)
となります。
texclip20131221172200.png


よって、答えは10/49となります。

条件付き確率、もっとわかりやすい日本語はないものだろうか。
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